Последовательность спирали Фибоначчи

фиксируем источники возникновения последовательностей:

Формулировка и определение понятия

Ряд Фибоначчи – это математическая последовательность, каждый элемент которой равен сумме двух предыдущих. Обозначим некой член последовательности как хn. Таким образом, получим формулу, справедливую для всего ряда: хn+2=хn+хn+1. При этом порядок последовательности будет выглядеть так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Следующим числом будет 55, так как сумма 21 и 34 равна 55. И так далее по такому же принципу.

Числа Фибоначчи  или Последовательность Фибоначчи — числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.

Последовательност Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Полное определение чисел Фибоначчи 

Свойства последовательности Фибоначчи

1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют (ФИ).

2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

 

Так же интерес представляет вычисление ряда и пропорций, в определенный момент совпадающих в своихзначениях (см. источник):

не только предел отношения двух соседних элементов даст константу золотого сечения, но и последовательности, составленные из разностей соседних значений цепочек a и b дадут то же самое:

а при больших количествах переменных:

Да и любая комбинация ненулевых начальных значений a и b, кроме a=b=0, даст аналогичную картину. Сразу же возникла мысль обобщить расчёт на большее количество переменных